【摘要】本文在前人研究的基礎上提出了統一的顫振和抖振分析方法。該方法以非線性有限元的直接積分法為基礎，在研究中具體解決了隨機風速場的模擬、耦合自激力的時域計算和統一的顫抖振時程分析流程等關鍵問題，考慮了結構的幾何非線性和有效攻角效應。本文的研究糾正了過去時程分析方法不能同時處理顫振和抖振的理論缺陷。本文還通過所編制的軟件的計算實例驗證了方法的正確性和可行性。
關鍵詞 橋梁 非線性 顫振 抖振 時程分析

一、前言
時程分析方法是橋梁風工程中的主要方法之一。過去的非線性時域分析方法都局限于抖振。其基本流程是首先模擬橋梁風場的脈動風速時程，根據脈動風速計算抖振力和自激力，然后將抖振力和自激力的計算編入非線性有限元程序中，最后再運用這樣的程序進行計算。在這個流程中，非線性有限元程序是比較成熟的，但在脈動風速模擬和自激力的計算方面都還存在著對分析有重要影響的缺陷。由于時域中耦合自激力的計算比較困難，過去的時程分析中都沒有考慮耦合的自激力，因此，這樣的分析方法不能用來分析耦合顫振【2】。
本文在此對時程分析方法進行了改進。首先是改進了模擬隨機風場的諧波合成法，提高了模擬的效率。然后本文實現了時域中耦合自激力的計算，從而在時域中實現了比較完善的風荷載計算。利用這樣的風荷載，本文在時域中統一了抖振和顫振的分析方法。在時域中實現了耦合顫抖振和顫振分析。根據這一方法，本文運用可視化編程技術，編制了大跨度橋梁非線性顫振和抖振時程分析的有限元程序Nbuffet，并對程序進行了驗證。最后本文對江陰長江大橋進行了非線性顫振和抖振分析，得出了一些有益的結論。

二、脈動風送的模擬
要進行抖振時程分析就必須首先模擬作用在橋梁上的脈動風速時程。本文采用經作者改進的諧波合成系列中的一種方法，大大提高了模擬效率，為在后文進行顫振時程分析中不斷變換風速計算節約了時間。作用在大跨度橋梁上脈動風速可視為一維多變量隨機過程。眾所周知，用諧波合成法模擬一維多變量隨機過程需要計算互譜密度矩陣的Cholesky分解。該分解通常采用迭代法求借，計算最大，常常影響模擬的規模的效率。本文作者利用橋梁上各點的互譜密度近似相等的特點，導出了顯式的分解公式，并且采用了FFT技術，從而極大地提高了模擬效率。經過改進后的諧波合成法如下[3]：

其中，q是p／(2N)的余數，q＝0，l，2，…，2n-l. hjm(qΔt)由下式給出：

式（2）就是一個 Fourier變換,用 FFT算法計算。Gjm(ω)則是作者改進的顯式 Cholesky分解，由下式給出

其中

三、風荷載計算
引起橋梁風振的荷載可以分為靜力風荷載、抖振力和自激力。其中靜力荷載按常規靜力三分力系數計算，抖振力常按Scanlan的準定常理論計算。
自激力的計算一直是研究得較多的課題之一。傳統頻域抖振和顫振分析方法中的自激力都采用Scanlan提出的氣動導數的線性表達式。由于該表達式是頻域和時域的混合表達式，不能在時域中求解。為了在時域中順利計算耦合自激力，Lin提出了一種用單位脈沖響應函數表達的統一自激力表達式【4】。本文按 Lin的理論計算耦合自激力。 Lin的理論基于二自由度耦合。然而，三自由度耦合對結構振動的影響最近也引起了一些學者的關注。雖然并非所有的自由度之間都具有耦合特性，但從理論和形式完備的角度出發，本文將Lin的理論從二自由度推廣到三自由度，成功地實現了時域內三自由度耦合自激力的計算。本文擴充后的三自由度耦合自激力公式如下：

用脈沖響應函數表達的自激力適合于任意形式的振動，也適用于正余弦振動（顫振）。根據在正余弦振動形式下，脈沖響應函數表達的自激力與氣動導數表達的自激力相等價的關系，Lin導出了用脈沖響應函數表達的自激力的具體表達形式。以Mα（t）為例，其最終表達式為[7]

式中，Ck，dk為待定系數，它們與氣動導數的關系為（以n＝4為例）：

對上式進行最小二乘擬合就可以得到待定系數的近似值。其他幾個自激力分量Lh（t），Lp（t），La(t)，Dh（t），Dp（t），Da（t），Mh（t），Mp（t）的構造形式與式（8）相同，其中的待定系數與相關的氣動導我也有類似的對應關系，可以通過最小二乘擬合確定。從式（7）可以看出，本文推廣后的自激力表達式需要用到完整的18個氣動導數。也就是說，只要從試驗或CFD計算得到了橋梁斷面的18個氣動導數，我們就可以在時域內獲得任意運動形式下的自激力近似表達式，并且分別用這些氣動導數對結構振動影響進行參數分析。限于氣動識別技術的困難，本文的計算中對沒有測量值的氣動導數暫時置0。隨著計算流體力學（CFD）的逐漸成熟，運用CFD技術進行氣動識別將會有效地彌補這方面的不足。

四、統一的額報和抖報時域分析方法
在傳統的步域分析方法中，抖振和顏振是通過完全不同的方法來分析的。其中，抖振分析用的是基于隨機振動理論的響應譜方法，顫振分析用的是與特征值問題有關的半逆解法或復模態解法。風振時程分析的初衷是為了解決非線性情況下的抖振響應計算。但是顫振分析中所需要的計算自激力的公式在抖振時程分析中都要用到，所以從理論上講，利用計算抖振時程分析的方法同樣可以在時域中計算顫振。實際上，抖振和顫振并不是完全獨立的。在任何風速之下，橋梁都受到抖振力和自激力的作用。當風速較低時，自激力很小，不起控制作用，橋梁的振動就體現為抖振。當風速增加到一定程度時，自激力逐漸發散，并控制橋梁的運動，橋梁就發生了顫振。因此，只要正確地描述了抖振力和自激力，運用時程分析這一仿真的分析方法，就可以算出一定風速之下橋梁的真實運動狀態。如果表現為隨機振動，則說明是抖振，我們就可以得到響應時程統計指標。如果是發散振動，就說明橋梁發生了顫振。只要不斷進行搜索計算，我們就能在時域中找到橋梁的顫振臨界風速。
根據以上設想，本文設計并首次成功地實現了時域中統一的顫振和抖振分析算法，其分析流程見圖1。

流程中，耦合自激力的計算是個關鍵。過去的一些抖振時程分析方法中常只近似考慮非耦合的自激力。而大跨度橋梁的顫振發散大多是受耦合自激力控制的，因此，過去的抖振時程分析方法不能用于計算顫振的原因就在于此。顫振發散的判斷依據也是關鍵之一。考慮到結構在接近顫振臨界狀態時，振動形式逐漸從隨機振動過渡到諧波發散振動，其振幅將逐漸增大，相應振動的阻尼將逐漸減小。因此，本文先通過位移時程曲線觀察振幅的變化規律，當結構的振動明顯過渡為諧波振動時，則根據計算結構的阻尼系統，當阻尼系統為負時，則認為結構進入顫振臨界狀態。計算實例表明，這種判斷方法與其他方法計算得到的結果一致。

五、非線性顫振和抖振時程分析的程序設計
除了在時域中統一顫振和抖振分析方法以外，本文研究時程分析方法的目的還在于分析不同非線性因素對橋梁顫振和抖振響應的影響。與大跨度橋梁抖振和顫振有關的非線性現象主要有：
（l）幾何非線性，包括平均風荷載引起的位移：由于大跨度橋梁相對細長，幾何非線性現象不能忽視；
（2）有效攻角效應：由平均風荷載引起的位移使風對橋梁的攻角發生變化，從而使靜力三分力系統和氣動導數發生變化，因此附加攻角對橋梁的影響不能忽視。
根據以上分析流程并考慮這些非線性因素，借鑒一些通用有限元程序的理論和源代碼[5]，本文作者編制了大跨度橋梁顫振和抖振分析程序Nbuffet。該程序以 Fortran Power Station（FPS）4.0為平臺，采用Fortran90語言編程。作者運用了FPS的Windows編程技術，使Nbuffet成為一個基于Windows95／NT平臺具有豐富的交互式功能的實用程序。
由于目前非線性有限元技術相對比較成熟，該部分在理論上不是本文的重點，因此這里不再詳述。

六、實例分析
在以上理論的基礎上，本文作者編制了相應計算機程序Nbuffet。該程序考慮了結構的幾何非線性和氣動非線性（有效攻角引起的三分力和氣動導數等變化），以便可以考慮這些非線性對結構風振行為的影響。本文作者在程序中采用魚骨架式模型建立大跨度橋梁模型，采用桿梁的切線剛度矩陣和Newton-Raphson方法并引入平衡迭代來處理結構幾何非線性，采用圖1所示的流程來反映有效攻角效應。運用所編制的程序，本文分析了江陰長江大橋主橋的非線性顫振和抖振行為。
江陰長江大橋主跨1385m，是我國目前在建的跨度最大的橋梁。豐文運用Nbuffet程序，分析了該橋不同參數下的顫振和抖振響應，并與用其他方法得到的結果進行了比較。結果顯示，本文建立的統一的顫振和抖振分析方法在理論上和實踐上都是成功的。本文所編制的Nbuffet程序也是實用可靠的。以下分別是運用傳統頻域分析方法、風洞模型試驗和本文的方法分析得出的一些結果對比情況。限于篇幅所限，本文未給出與表中數據對應的曲線圖。從結果對比可以看出本文的計算結果與頻域分析方法、風洞模型試驗的結果基本吻合（表l～表3）。本文的主要目的是建立一套時域內顫振和抖振統一分析的方法和流程。從比較結果來看，這種方法和流程是成功的。
從比較結果中還可以得到以下一些現象：
（1）從表2看，本文豎向響應略小于風洞試驗結果，而從表3看，本文的扭轉結果又略大于風洞試驗結果。考慮到目前的風振試驗和分析方法體系都尚未達到比較精確的程度，這些誤差可能來源于試驗、頻域、時域三者之間的模型誤差。

（2）從表4看，素流對該橋的顫振臨界風速沒有影響，即考慮抖振項的參與不影響該橋額振臨界風速。
（3）從表5、表6看，只有氣動導納因素對抖振結果影響顯著。可見，幾何非線性和有效三分力及有效氣動導數對懸索橋的影響可能要到更大的跨度才能表現出來。

七、結語
大跨度橋梁在非線性情況下的顫振和抖振分析是目前橋梁風工程研究的熱點之一。本文著重提出了時域中統一的顫振和抖振方法，同時解決了脈動風速的高效率模擬、結構幾何非線性和氣動非線性的處理方法。在此基礎上，本文編制了計算程序Nbuffet并用該程序分析了江陰長江大橋非線性顫振和抖振響應。結果表明本文提出的方法及所編制的程序在理論和實踐上都是正確的。
在此基礎上，我們就可以在時域中增加考慮各種非線性因素對結構進行分析從而尋找結構對這些因素的敏感性；我們也可以根據時程計算來進行非線性的振動控制。而這些研究工作在頻域范圍內是難以開展的。如果與CFD技術相結合，將可望實現從參數識別到結構宏觀計算和控制的全過程分析。從而達到與風洞試驗互為補充的目的。
應該說，盡管以上方法和程序是成功的，但是更重要的是要利用這種方法對所關心的橋梁進行各種用過去的方法所不能進行的全過程參數分析，從而得到更具有普遍規律性的結論。因此，大量的實例計算和總結是必要的。

參考文獻
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