[摘要]用修正索的彈性模型、無(wú)彈性索假定和有彈性索假定三種方法，以斜拉索梁端張力的豎向分力為已知量，求索的斜率、張力、無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)等的靜力解。并以設(shè)計(jì)實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)對(duì)比分析計(jì)算結(jié)果，得出一些結(jié)論。
關(guān)鍵詞 斜拉索 斜率 張力 無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng) 靜力解
一、前言
斜拉索具有高度的幾何非線性，其精確計(jì)算主要有三個(gè)目的：一是確定索端斜率和張力，以指導(dǎo)施工過(guò)程中套管的精確定位、掛索、張拉、索力調(diào)整等步驟；二是確定索的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度，使在設(shè)計(jì)張力作用下，成橋狀態(tài)時(shí)的橋梁線形符合設(shè)計(jì)要求；三是利用解得的成橋時(shí)索長(zhǎng)、索力的精確解對(duì)成橋狀態(tài)斜拉索彈性模量進(jìn)行修正，有助于橋梁整體準(zhǔn)確地靜動(dòng)力分析。對(duì)擬彈性直桿斜拉索的彈性模量進(jìn)行修正（Ernst公式或精確的等效公式）和近似方法簡(jiǎn)便快捷，便于手算，但隨著索長(zhǎng)和傾斜度的增大，采用該法受到限制。為求得斜拉索精確靜力解，文獻(xiàn)[1]從整體平衡出發(fā)，推導(dǎo)了部分精確解，以常量索的水平分力幾為已知量來(lái)求解；文獻(xiàn)［2」假定索為無(wú)彈性柔性索，以索梁端張力的豎向分力TAv為己知量，建立了計(jì)算索梁端傾角的迭代公式，進(jìn)而推導(dǎo)出求解斜率、張力和索長(zhǎng)的方程，但未給出無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的解；文獻(xiàn)［3」從微元體平衡出發(fā)，以索梁端張力的豎向分力TAv為已知量，對(duì)不考慮彈性和考慮彈性兩種情況，分別建立了計(jì)算索梁端張力的選代方程和方程組，進(jìn)而推導(dǎo)出求解斜率、張力和索長(zhǎng)的解析式。由于在斜拉索設(shè)計(jì)中，無(wú)論實(shí)際是在哪端張拉，在確定索初始張拉力時(shí)，直接得出的都是索梁端張力的豎向分力，因此，文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]的方法有很好的實(shí)用性。
本文在完善了相關(guān)文獻(xiàn)計(jì)算公式的基礎(chǔ)上直接給出了斜拉索靜力計(jì)算三種方法的計(jì)算公式，最后以實(shí)例用三種方法計(jì)算對(duì)比了計(jì)算結(jié)果，得出一些結(jié)論。
二、索的狀態(tài)
對(duì)于柱式或門柱式塔，棧橋向每側(cè)的索一般均設(shè)計(jì)在同一個(gè)平行于橋軸線的垂直平面內(nèi)，而對(duì)于更一般的情況，即對(duì)于A字型、花瓶形或鉆石形塔，橫橋向每側(cè)的素并不在同一個(gè)平行于橋軸線的垂直平面內(nèi)。每一根索各處在通過(guò)其自身的垂直平面內(nèi)。對(duì)于每一根索，其梁端坐標(biāo)（XA，YA，ZA）和塔端坐標(biāo)（XB，YB，ZB）決定了索在空間坐標(biāo)系OXYZ中的位置
(圖1）。通過(guò)幾何關(guān)系，可將索由空間坐標(biāo)系向通過(guò)索自身的垂直平面oxy內(nèi)轉(zhuǎn)換。在oxy平面內(nèi)，索的水平投影長(zhǎng)度
，垂直投影長(zhǎng)度h=。因此，索為兩端鉸接于錨固點(diǎn)，承受兩端沿切線方向的張力TA，TB和自重的空間曲線。索的彈性模量為E，截面面積為A，自重集度為q，索在oxy平面內(nèi)的梁端斜率為KA，塔端斜率為KB。在oxy平面內(nèi)可求解索的斜率，張力，索長(zhǎng)和無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)，若需要，還可進(jìn)而實(shí)現(xiàn)斜率，張力和索長(zhǎng)由oxy平面向OXY坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。
三、修正彈性按量法的計(jì)算公式
修正彈性模量法將斜拉索視為一彈性直桿，對(duì)斜拉索的彈性模量進(jìn)行修正，從而把拉索自重引起的幾何非線性問(wèn)題線性化。修正彈模的Ernst公式表示如下：
事實(shí)上，Ernst公式只是斜拉索精確的等效彈性模量在索處于水平這樣一種特殊情況下的公式。對(duì)于處于一般狀態(tài)下的索，Ernst公式是近似的等效彈性模量，精確的等效彈性模量表示如下：
修正彈性模量法求解斜拉索的方程、任意點(diǎn)斜率、兩端張力、索長(zhǎng)的解析式如下：
中心坐標(biāo)為X的索微段ds的伸長(zhǎng)：
則索的總伸長(zhǎng)：
其中，
式（6）可用分段求和法求解，分段數(shù)控制解的精度。
則無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)為
S0=S-ΔS
四、無(wú)彈性假定科拉索的計(jì)算公式
由文獻(xiàn)［2］，通過(guò)取脫離體建立靜力平衡方程并求解，可得索梁端斜率的迭代方程（文獻(xiàn)[2]式(12)）：
并進(jìn)而求出以kA為變量的斜拉索方程、任意點(diǎn)斜率、任意點(diǎn)張力、索長(zhǎng)的解析式（參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]如下：
又由文獻(xiàn)［2」知索微段長(zhǎng)：
索微段伸長(zhǎng)量為
則索全長(zhǎng)伸長(zhǎng)量為
令
則積分得
則無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)為
S0=S一ΔS
索跨中矢度為
f1/2＝h/2-y1/2。
索最大矢度發(fā)生在斜率為h/l的點(diǎn)處，為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直線與曲線的y值差，解得
五、有彈性假定斜拉索的計(jì)算公式
由文獻(xiàn)［3］，通過(guò)取微元體建立靜力平衡方程，可得求解索梁端張力的迭代方程組（文獻(xiàn)[3]式（19），（20））：
方程組以索梁端斜率為獨(dú)立變量推導(dǎo)而出，實(shí)際上也是索梁端斜率的迭代方程。由式（18）有
又已知
將式（19），（20）代人式（17），可得索梁端斜率的迭代方程：
由式（19），（20），（20）可迭代求解知，并進(jìn)而求出以知為變量的斜拉索方程、任意點(diǎn)斜率、任意點(diǎn)張力、索長(zhǎng)、無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)、伸長(zhǎng)量、跨中矢度、最大矢度的解析式（參見(jiàn)文獻(xiàn)[3])如下：
式（30）中，X為曲線上斜率為h/l的點(diǎn)的水平坐標(biāo)，由式（24）求解u，代入（22）求解x。
六、計(jì)算實(shí)例
以跨長(zhǎng)江某斜拉橋?yàn)槔≈锌缱铋L(zhǎng)索、最短索和中間索用三種方法計(jì)算。計(jì)算中有關(guān)非線性方程采用區(qū)間對(duì)分搜索法求解，計(jì)算采用了雙精度。已知參數(shù)見(jiàn)表1，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2
七、結(jié)論
（1）方法1將斜拉索視為彈性直桿，因此不能修正斜率、張力和索長(zhǎng)，且索不存在豎向撓曲；而方法2，方法3建立在柔性索靜力平衡關(guān)系上，因此能夠修正斜率、張力和索長(zhǎng)，且能求解索的豎向撓度。
(2）方法1中，由于精確的等效彈性模量公式考慮了平行于索方向的索自重分力的影響，因此Eeq2<Eeq1,ΔS2>ΔS1，且隨著索長(zhǎng)和傾斜度的增加，差值有所增大，但由于K值一般很小，這種差值也很小。可見(jiàn)，在假定索的初應(yīng)力和最終應(yīng)力近似相等的前提下，Ernst公式有很好的近似性。
（3）方法1是近似方法，方法3是最符合實(shí)際的精確解，方法2是忽略索彈性伸長(zhǎng)并引起截面積變化的精確解。由結(jié)果可見(jiàn)，方法2和方法3求出的斜率、張力、索長(zhǎng)和無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)十分接近，且在索長(zhǎng)較短、傾斜度不大的情況下，各值幾乎相等。而方法論1同方法2方法3相比較，各值只在索長(zhǎng)較短、傾斜度不大的情況下較為接近，否則，相差較大。因此，在初步設(shè)計(jì)階段或施工圖設(shè)計(jì)階段對(duì)索進(jìn)行估算時(shí)，應(yīng)用方法1簡(jiǎn)便快捷；而在施工圖設(shè)計(jì)階段要求對(duì)索進(jìn)行精確計(jì)算時(shí)，須用方法3或方法2。二者計(jì)算結(jié)果均滿足工程精度要求。
(4)在對(duì)成橋后全橋進(jìn)行整體靜動(dòng)力分析時(shí)，須用方法3或方法2求得的索長(zhǎng)、索力對(duì)斜拉索彈性模量進(jìn)行修正，才能更準(zhǔn)確地分析斜拉索幾何非線性因素對(duì)全橋受力的影響。
(5）無(wú)論是方法2或方法3,二者計(jì)算的索跨中矢度和最大矢度幾乎相等，因此可認(rèn)為最大矢度就在跨中而予以直接計(jì)算。另外，由于方法3考慮了索的彈性，其計(jì)算的矢度值較方法2略小。
參考文獻(xiàn)
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